METODE GENERALISASI UNTUK MENCARI AKAR KUADRAT MATRIKS BERORDO 2×2

Abstract

Suatu matriks 𝐴 dikatakan akar kuadrat dari matriks 𝐵, dinotasikan sebagai √𝐵, jika 𝐴 memenuhi (𝐴^2)= 𝐵. Akar kuadrat suatu matriks tidak dapat ditentukan secara langsung dengan mengakarkan entri-entrinya, oleh karena itu diperlukan suatu metode khusus untuk mencarinya. Salah satu metode yang digunakan adalah metode Cayley-Hamilton, tetapi metode ini hanya dapat diterapkan pada matriks definit positif, yaitu matriks yang semua nilai eigennya bernilai positif. Sedangkan untuk matriks definit negatif dan indefinit, metode Cayley-Hamilton ini tidak dapat digunakan. Untuk itu, pada artikel ini dibahas mengenai metode lain yang merupakan generalisasi dari metode Cayley-Hamilton, yaitu metode generalisasi untuk mencari akar kuadrat dari sebarang matriks persegi berordo 2*2. Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 adalah (λ^2)- (tr(A))λ+det(A)=0. Dimisalkan matriks 𝐵 memenuhi 𝐵=𝐴^2 maka berlaku det(𝐴)=±√(det(𝐵)) dan tr(𝐴)=±√(tr (𝐵)±(2√(det(𝐵))). Jika tr(A)≠0 maka matriks 𝐴 ditentukan melalui persamaan 𝐴 =1/(tr(A))*(𝐴 +det(𝐴)I). Jika tr(A)=0, maka (𝐴^2)∊I dengan I={αI⃒α∊ℂ}, sehingga matriks 𝐴 ditentukan melalui persamaan 𝐴=√α√I, dengan √I  adalah akar kuadrat dari matriks identitas I.

Kata Kunci: determinan matriks, Metode Cayley-Hamilton, trace matriks.