BENTUK KANONIK SMITH PADA MATRIKS POLINOMIAL

Abstract

Dalam teori matriks dikenal suatu bentuk kanonik Smith. Bentuk ini digunakan sebagai alternatif apabila suatu matriks tidak dapat didiagonalisasikan. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis bentuk kanonik Smith, menyelidiki eksistensi bentuk kanonik Smith dan menyelidiki ketunggalan bentuk kanonik Smith pada matriks polinomial atas real. Bentuk kanonik Smith merupakan matriks hasil reduksi dari sebarang matriks polinomial atas real yang bentuknya mendekati bentuk matriks diagonal, dengan elemen-elemen pada diagonal utamanya f₁(x), f₂(x), ..., f_r(x) merupakan monik dan f_k(x)|f_k+1(x) untuk k=1, 2, …, r-1. Setiap matriks polinomial atas real yang diberikan adalah ekuivalen dengan matriks kanonik Smith yang terbentuk. Bentuk kanonik Smith pada umumnya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi baris dan kolom elementer. Pada matriks polinomial atas real, bentuk kanonik Smith dibentuk dengan menentukan elemen yang memiliki derajat terendah sebagai elemen satu utamanya yang kemudian diubah menjadi suatu monik serta membagi elemen lainnya. Selain dengan menggunakan transformasi elementer, bentuk kanonik Smith juga dapat ditentukan melalui pembagi determinan yang merupakan pembagi persekutuan terbesar dari minor-minor bujur sangkar pada matriks. Dengan menerapkan hubungan antara faktor invarian dan pembagi determinan, maka diperoleh elemen-elemen pada diagonal utama suatu matriks kanonik Smith. Dari penelitian yang dilakukan dapat diketahui bahwa bentuk kanonik Smith dapat secara tunggal ditentukan dari suatu matriks polinomial atas real yang diberikan.

Kata Kunci: bentuk kanonik Smith, matriks polinomial, transformasi elementer, pembagi determinan